\section{子空间的直和}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item   我们将讨论一种特别的子空间的和：线性无关的和，也称为直和。
      称向量空间$V$的子空间$W_1, \cdots, W_k$的和$W_1+\cdots+W_k$为直和 (记作$W_1\oplus \cdots \oplus W_k$)，
  若任意的$w\in W\coloneq W_1+\cdots+W_k$可以唯一地写为和$w=w_1+\cdots+w_k$, 其中$w_i\in W_i$.
  这里包含两点：(i) ``可以写''这部分（生成性）；(ii) ``唯一地''这部分（无关性）。
  %这样``直和''可以想成是我们讨论基时的谈的生成性和无关性拿到子空间上来了。
  (当然这里我们假定了$W=W_1+\cdots+W_k$, 生成性是自动的)。
\item 
  子空间的线性无关性可以用如下几种方式刻画。
\begin{enumerate}
  \item  若$0=w_1 + w_2 + \cdots + w_k$, 其中 $w_i \in W_i$, 则所有的$w_i=0$ (我们用这条作为无关性的定义，
    因为这条可以类比于我们熟悉的向量组的线性无关性的定义)；
  \item  任意的 $w \in W$, $v$可唯一地写为 $w = w_1 + w_2 + \cdots + w_k$, 其中 $w_i \in W_i$ (课本上用的这条作为定义，这条可以类比于向量组的线性无关性的一个等价描述);
  \item  若 $\symbb{B} _i$ 为 $W_i$ 的基，那么合并后的向量组 $\symbb{B}  = (\symbb{B} _1, \symbb{B} _2, \cdots, \symbb{B} _k)$ 为 $W$ 的基；
  \item  $\dim W = \sum_{i=1}^k \dim W_i$;
  \item $W_i\cap \sum_{j<i} W_j=\{0\}$, 对任意的$i>1$; 
  \item $W_i\cap \sum_{j\neq i} W_j=\{0\}$, 对任意的$i$. 
\end{enumerate}

\item 
  特别地，若$W=W_1+W_2$, 则$W=W_1\oplus W_2$ $\Leftrightarrow$ $W_1, W_2$的基合并后的向量组是$W$的基 
  $\Leftrightarrow$ $\dim W=\dim W_1+\dim W_2$ 
$\Leftrightarrow$ $W_1\cap W_2=\{0\}$.
当然，作为启发式的教学，我们是从两个子空间的直和引入的。

\item 
有时我们想证明 $W=W_1\oplus \cdots \oplus W_k$, 
可我们只知道$W_1,\cdots,W_k$都是$W$的子空间，还不知道$W=W_1+\cdots+W_k$.
注意到：上面列出的刻画无关性的条件(2)和(3)不仅蕴含了这些子空间的线性无关性，也蕴含了$W=W_1+\cdots+W_k$.
而其他条件并未蕴含$W=W_1+\cdots+W_k$, 需要单独验证$W=W_1+\cdots+W_k$.
另外，条件(5)和(6)不常用来验证直和，除了在$k=2$的时候。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{两个子空间的直和}
线性无关性和向量生成的大部分做法适用于子空间。
上一讲我们讲到了子空间的生成（即和），下面我们来讲无关性。
无关的和称为直和。
先看两个子空间的情形。

%子空间的直和是子空间的和的一个重要的特殊情形：线性无关的和。


\begin{definition}\label{117}
  线性空间 $V$ 的子空间$V_{1}, V_{2}$称为（线性）\emph{无关的} (linearly independent)，
若%零向量只能以$0=0+0$这种平凡的方式写为$V_1, V_2$中向量之和，亦即
$0=\alpha_1+\alpha_2$（其中$\alpha_i\in V_i$）蕴含了$\alpha_1=\alpha_2=0$.
若$V_1, V_2$无关，$V_1+V_2$称为$V_1, V_2$的\emph{直和} (direct sum)，
也记为$V_1\oplus V_2$.
\end{definition}
  容易发现子空间无关性如下的刻画。
  \begin{lemma}\label{118}
  下列条件等价：
  \begin{enumerate} 
    \item 子空间$V_{1}, V_{2}$无关。
    \item $V_1\cap V_2=\{0\}$.
    \item 任意向量$\alpha\in V_1+V_2$的分解$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$（其中$\alpha_i\in V_i$）是唯一的。
\end{enumerate}
\end{lemma}

\pause
定义~\ref{117}~中陈述的无关性可以类比于我们以前对$\alpha_1,\alpha_2$线性无关的定义：
$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2=0$蕴含了$c_1=c_2=0$; 当然子空间对数乘封闭，我们不必把系数加进来。
而(3) 中陈述的无关性可以类比于$\alpha_1,\alpha_2$线性无关的等价说法：
$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2=c_1'\alpha_1+c_2'\alpha_2$蕴含了$c_1=c_1', c_2=c_2'$.
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
  考虑$\bR^{n\times n}$中由对称矩阵构成的子空间$V_1$和由反对称矩阵构成的子空间$V_2$.
  在例~\ref{103}~中我们看到了
  \[
    V_1\cap V_2=\{0\},\quad V_1+V_2=\bR^{n\times n}.
\]
从而$\bR^{n\times n}=V_1\oplus V_2$.
\end{example}

\begin{proof*}[引理~\ref{118}~的证明]
  我们证 (1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(1). 

  先证 (1)$\Rightarrow$(2). 
  设$V_1, V_2$无关，令$\alpha\in V_1\cap V_2$. 
  显然有分解$0=\alpha+(-\alpha)$, 且$\alpha\in V_1, -\alpha\in V_2$.
  $V_1, V_2$无关表明$\alpha=0$. 
  这样 $V_1\cap V_2=\{0\}$.

  再证 (2)$\Rightarrow$(3). 
  设 $V_1\cap V_2=\{0\}$. 
  设$\alpha=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_1'+\alpha_2'$是$\alpha\in V_1+V_2$的两个分解，其中$\alpha_i, \alpha_i'\in V_i$.
  那么$\alpha_1-\alpha_1'=\alpha_2'-\alpha_2.$ 等号两边分别属于$V_1, V_2$,
  故此向量属于 $V_1\cap V_2$.
  由假设这只能是零向量。
从而$\alpha_1=\alpha_1', \alpha_2=\alpha_2'$. 
这就证明了分解的唯一性。

  最后证 (3)$\Rightarrow$(1). 显然零向量有分解$0=0+0$. 由分解的唯一性可知这是唯一的分解。
  故而$V_1, V_2$无关。
\end{proof*}


\end{frame}


\begin{frame}{}

  \begin{theorem}
  设 $V_{1}, V_{2}$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间， 令 $W=V_{1}+V_{2}$, 则
$W=V_{1} \oplus V_{2}$当且仅当$\dim W=\dim V_1+\dim V_2$.
\end{theorem}
\begin{proof}
由维数公式以及$V_{1}+V_{2}$ 为直和等价于 $V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$这个事实易知。
\end{proof}

\begin{corollary}
设 $U$ 是线性空间 $V$ 的一个子空间， 那么存在一个子空间 $W$ 使得 $V=U \oplus W$.
\end{corollary}
\begin{proof}
  取 $U$ 的一组基 $\symbb{B} _1$. 
把它扩充为 $V$ 的一组基 
  $(\symbb{B} _1, \symbb{B} _2).$
令
  $W=\Span \symbb{B} _2.$
那么
\[
  W+U=\Span \symbb{B}_1+ \Span \symbb{B}_2=\Span (\symbb{B}_1, \symbb{B}_2)=V,
  \]
  且
  $\dim W+\dim U=\dim V$, 
  从而由上述定理可知$V=U\oplus W$.
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}{多个子空间的直和}

  下面我们把两个子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形。


  \begin{definition}\label{148}
  线性空间 $V$ 的子空间$V_{1},  \cdots, V_k$称为（线性）\emph{无关的} (linearly independent)，
  若零向量只能以$0=0+\cdots+0$这种平凡的方式写为$V_1, \cdots,  V_k$中向量之和，
  亦即$0=\alpha_1+\cdots+\alpha_k$（其中$\alpha_i\in V_i$）蕴含了所有$\alpha_i=0$.
  若$V_1, \cdots, V_k$无关，$V_1+\cdots+V_k$称为$V_1,\cdots, V_k$的\emph{直和} (direct sum)，
  也记为$V_1\oplus \cdots\oplus V_k$.
\end{definition}

\begin{theorem}\label{149}
设 $V_1, \cdots, V_k$ 为有限维向量空间 $V$ 的子空间。下列条件等价：
\begin{enumerate}
  \item  $V=\bigoplus_{i=1}^k V_i$（即$V=\sum_{i=1}^k V_i$且$V_1,\cdots,V_k$无关）;
  \item  任意的 $\alpha \in V$可唯一地写为 $\alpha = \alpha_1 +  \cdots + \alpha_k$, 其中 $\alpha_i \in V_i$;
  \item  若 $\symbb{B} _i$ 为 $V_i$ 的基，那么合并后的向量组 $\symbb{B}  = (\symbb{B} _1, \symbb{B} _2, \cdots, \symbb{B} _k)$ 为 $V$ 的基；
  \item  $V=\sum_{i=1}^k V_i$且$\dim V = \sum_{i=1}^k \dim V_i$;
  \item  $V=\sum_{i=1}^k V_i$且$V_i \cap  \sum_{j< i} V_j = \{0\}$, 对任意的 $i>1$.
  \item $V=\sum_{i=1}^k V_i$且$V_i\cap \sum_{j\neq i} V_j=\{0\}$, 对任意的$i$.
\end{enumerate}
\end{theorem}


\end{frame}

\begin{frame}{}

  \pause
\begin{proof*}[定理~\ref{149}~的证明]
    条件 (5)、(6) 与其它条件等价留作练习。
    这里我们证明 (1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(1), (3)$\Leftrightarrow$(4).

~

  (1)$\Rightarrow$(2). 
  $V=\sum_{i=1}^k V_i$表明每个$v\in V$可写为$V_1,\cdots,V_k$中向量之和。
  要证明写法的唯一性，
  设$v=\sum_{i=1}^k \alpha_i = \sum_{i=1}^k \alpha_i'$, 其中$\alpha_i, \alpha_i'\in V_i$. 
  那么$0=\sum_{i=1}^k (\alpha_i-\alpha_i')$.
  每个$\alpha_i-\alpha_i'\in V_i$, 而由假设$V_1, \cdots, V_k$无关，
  从而$\alpha_i-\alpha_i'=0$,  $\alpha_i=\alpha_i'$, 对任意的$i$. 
  这就证明了每个$v\in V$可唯一地写成$V_1, \cdots, V_k$中向量之和。

  ~

  (2)$\Rightarrow$(3). 
由
\[
  V=\sum_{i=1}^k V_i=\sum_{i=1}^k \Span \symbb{B} _i=\Span(\symbb{B} _1,\cdots,\symbb{B} _k)=\Span \symbb{B} 
\]
知$\symbb{B} $生成$V$.
要证明$\symbb{B} $为$V$的一组基，我们还需证明$\symbb{B} $线性无关。
令
  \[
    \symbb{B} _1 X_1+\symbb{B} _2X_2+\cdots + \symbb{B} _k X_k=0
  \]
  是$\symbb{B} $的一个线性关系。
  按假设$0$只能以平凡的方式写成$V_1, \cdots, V_k$中向量之和，所以每个$\symbb{B} _i X_i=0$. 
  又$\symbb{B} _i$线性无关，故$X_i=0$. 
  这就证明了$\symbb{B} $只有平凡的关系，即$\symbb{B} $线性无关。

  ~


  (3)$\Rightarrow$(1). 
  为了证明$V_1, \cdots, V_k$无关，设$0=\alpha_1+\cdots+\alpha_k$, 其中$\alpha_i\in V_i$. 
  每个$\alpha_i$是$\symbb{B} _i$中向量的线性组合，即$\alpha_i$可写为 $\alpha_i=\symbb{B} _iX_i$. 
  这样$0=\sum_{i=1}^k \symbb{B} _i X_i$. 
  由于$\symbb{B} =(\symbb{B} _1, \cdots, \symbb{B} _k)$是基，只有所有的$X_i=0$, 
  从而 $\alpha_i=\symbb{B} _iX_i=0$. 


\end{proof*}

\end{frame}

\begin{frame}{}

  \begin{proof*}[定理~\ref{149}~的证明 (续)]
(3)$\Leftrightarrow$(4). 
在 (3) 的假定下，显然我们有 $V=\Span \symbb{B} $.
在  (4) 的假定下，若$\symbb{B} _i$为$V_i$的基, 那么
我们有
\[
  V=\sum_{i=1}^n V_i=\sum_{i=1}^n \Span \symbb{B} _i=\Span \symbb{B} ,
\]
其中$\symbb{B} =(\symbb{B} _1,\cdots,\symbb{B} _k)$.
这样在两种假定下我们都有$\symbb{B} $生成$V$,
特别地，
\[
  \dim V \leqslant \sharp \symbb{B}  =\sum_{i=1}^k \sharp \symbb{B} _i =\sum_{i=1}^k \dim V_i.
\]
我们知道等号成立当且仅当$\symbb{B} $是$V$的基，因而 (3) 和 (4) 等价。
\end{proof*}

%\pause
%另外，容易发现
%
%\begin{lemma}
%  若$V$的子空间$V_1, \cdots, V_r$无关且$W_i$ 为$V_i$的子空间 ($i=1,\cdots,r$), 
%  则$W_1,\cdots,W_r$亦无关。
%\end{lemma}

\pause
\begin{remark}\label{150}
    容易发现，若$\alpha_1,\cdots,\alpha_r$都是非零向量，则
    $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$线性无关当且仅当子空间$P\alpha_1,\cdots,P\alpha_r$线性无关，
    其中$P\alpha_i=\{ c \alpha_i\mid c\in P\}$为$\alpha_i$生成的子空间。
    注意到：按照定义~\ref{148}, 单个子空间，包括零子空间，总是线性无关的；
    线性无关的几个子空间加入一个零子空间后仍然线性无关。
    虽然约定零子空间线性相关可以做到完全类比到向量组的情形，这样的约定反而会给将来的应用带来不便，
    所以我们不做这样的约定。\\
    更一般地，容易验证：\emph{非零子空间$V_1,\cdots,V_k$线性无关当且仅当任意一组非零向量$\alpha_1,\cdots,\alpha_k$ 
        (其中$\alpha_i\in V_i$) 线性无关}。
  \end{remark}


\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何谓子空间的直和？
      有哪些准则可以判断子空间的和是直和？
  \end{enumerate}
\end{frame}
